Τρίτη, 18 Οκτωβρίου 2016

Τα παράδοξα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Κείμενο  του  Γιώργου Μπαντέ 



Πάπυρος της Οξυρρύγχου με το πιο παλιό διάγραμμα από τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Η γεωμετρία όπως είναι γνωστό ασχολείται με το χώρο, αφού καταστήσει σαφές τι είναι χώρος. Χώρος για τη γεωμετρία είναι ένα σύνολο σημείων και ευθειών. Έτσι αν ο  χώρος αναφέρεται στην επιφάνεια μιας σφαίρας, τα σημεία του χώρου μας είναι τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας και οι ευθείες του χώρου μας είναι οι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας.
Ο επίπεδος χώρος των δύο διαστάσεων, δηλαδή το γνωστό μας επίπεδο, περιγράφεται πλήρως από τη γεωμετρία του Ευκλείδη, με σημεία και ευθεία τα γνωστά μας Ευκλείδεια σχήματα. Τα σχήματα αυτά συμπεριφέρονται με έναν ορισμένο τρόπο, όπως τα περιέγραψε ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του, τα οποία περιέχουν 23 Ορισμούς, 9 κοινές αρχές και 5 αξιώματα-αιτήματα, τα οποία αξιώματα δεν είναι τίποτα άλλο παρά υποθέσεις για τη συμπεριφορά των σημείων και των ευθειών του επιπέδου. Το να ρωτούμε λοιπόν αν τα αξιώματα του Ευκλείδη ισχύουν στο χώρο, ισοδυναμεί με το να ρωτούμε αν ο χώρος είναι Ευκλείδειος.

Πέμπτη, 13 Οκτωβρίου 2016

Η αξιωματική μέθοδος. Ευκλείδης και Χίλμπερτ

   …Ο κόσμος είναι σκοτεινός, όμως αρκεί να παρεμβάλουμε ένα κομμάτι Ελληνικής ζωής για να φωτιστεί αμέσως άπλετα… Νίτσε 
 Κείμενο του μαθηματικού Γιώργου Μπαντέ
 
Η σπουδαιότερη θεμελιωτική διαδικασία στα μαθηματικά και στην επιστήμη, ήταν η αξιωματική μέθοδος. Χωρίς αυτή δεν υπάρχουν επιστήμες.
Βέβαια μαθηματικά υπήρχαν και πριν τον Ευκλείδη, αλλά τα μαθηματικά μετά τον Ευκλείδη ήταν ε π ι σ τ ή μ η.
Ο συλλογισμός ξεκινάει τότε που οι Έλληνες ανακάλυψαν την αφαίρεση, τον παραγωγικό συλλογισμό [1] και τελικά τη μαθηματική απόδειξη, μια νέα μορφή αντίληψης και σκέψης, μετατρέποντας τον εμπειρικό λογισμό των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων, σε αυτό που είναι γνωστό σήμερα ως Μαθηματική επιστήμη. Έκριναν δηλαδή ότι οι γεωμετρικές αλήθειες – ο πρώτος παραγωγικός συλλογισμός έγινε στο πεδίο της Γεωμετρίας  – έπρεπε να επαληθεύονται με λογική απόδειξη κι όχι μόνο με πειραματικές μεθόδους, (π.χ μετρήσεις), κι αυτό είναι το λεγόμενο Ελληνικό μυστήριο. Στο σημείο αυτό ξεκίνησε η μηχανή του Λόγου που έκτοτεδεν σταμάτησε ποτέ, κάποτε καθυστέρησε, και τελικά γέννησε την Επιστήμη, μέσα από την αξιωματική μέθοδο.
Η μαθηματική απόδειξη είναι η κορύφωση της μαθηματικής δημιουργίας, δεν προέκυψε από κάποιο είδος εμπειρίας, ούτε ερμηνεύεται μηχανικά με τη μέθοδο της δοκιμής και σφάλματος, ούτε από τη σύμπτωση. Η πνευματική της διαδικασία είναι απροσδιόριστη όπως στη μουσική ή στην ποίηση. Είναι ένα φλας που ανάβει στο μυαλό των πνευματικών δημιουργών, και ανήκει σε έναν άλλο άγνωστο κόσμο! Είναι εκείνη η περίεργη χαρά που νιώθαμε στο σχολείο όταν λύναμε μια άσκηση γεωμετρίας. Όλοι γνωρίσαμε – βιώσαμετην αύρα της επιβεβαίωσης της ορθότητας της μαθηματικής απόδειξης και δεν χρειάζεται να πούμε τίποτα άλλο. Η αύρα αυτή είναι η απάντηση σε κάθε θεμελιωτικό πρόγραμμα της φιλοσοφίας για τα μαθηματικά.