Τα μαθηματικά πίσω από τα μετάλλια Φιλντς του 2014

Από αριστερά, Αρτούρ Αβίλα, Μαντζούλ Μπαργκάβα, Μάρτιν Χαίρερ και Μάριαμ Μιρζακάνι.

• Την προηγούμενη εβδομάδα στα πλαίσια του Διεθνούς Συνεδρίου Μαθηματικών που έλαβε χώρα  στη Σεούλ, ανακοινώθηκαν τα ονόματα των τεσσάρων μαθηματικών που τιμήθηκαν με το μετάλλιο Φιλντς, την ύψιστη διάκριση στον τομέα.
  Πρόκειται για τον Μάρτιν Χαίρερ από την Αυστρία, τη Μάριαμ Μιρζακάνι από το Ιράν, τον Αρτούρ Αβίλα από τη Βραζιλία, το Μαντζούλ Μπαργκάβα από τον Καναδά,. Στην περίπτωση του Αβίλα  ήταν η πρώτη φορά που έλαβε το βραβείο μαθηματικός από τη Λατινική Αμερική, ενώ η Μιρζακάνι ήταν η πρώτη γυναίκα αλλά και η πρώτη Ιρανή που τιμήθηκε με το βραβείο Φιλντς.
  Ποια ήταν όμως η συνεισφορά του καθενός στα μαθηματικά που οδήγησε στο μετάλλιο Φιλντς;
  
  Μάρτιν Χαίρερ
  Ο Μάρτιν Χαίρερ γεννήθηκε το 1975 στην Αυστρία και σήμερα είναι καθηγητής μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Γουόρικ. Η κύρια συνεισφορά του είναι στις στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, καθώς ανέπτυξε μία νέα θεωρία που παρέχει εργαλεία για τη λύση προβλημάτων που στο παρελθόν θεωρούνταν άλυτα.
  Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων έχει τις βάσεις της στη διαφορική ανάλυση που επινόησαν οι Ισάακ Νιούτον και Γκόντφριντ Λάιμπνιτζ το 17ο αιώνα. Για παράδειγμα εάν εφαρμοστούν οι νόμοι κίνησης του Νεύτωνα στο Ηλιακό Σύστημα δίνουν ένα σύνολο από διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο.
  
  

  

  
  

  O Μάρτιν Χαίρερ.

  Τέτοιου είδους διαφορικές εξισώσεις ονομάζονται ντετερμινιστικές, καθώς κάποιος μπορεί με ακρίβεια να προβλέψει τη συμπεριφορά τους. Στον αντίποδα υπάρχουν  και οι στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες εμπεριέχουν την τυχαιότητα στην εξέλιξή τους, όπως για παράδειγμα οι τιμές των μετοχών στο χρηματιστήριο. Άλλες κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων είναι οι συνήθεις και οι  μερικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες είναι συναρτήσεις μίας και αντίστοιχα περισσότερων μεταβλητών. Μία σημαντική μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση που διαδραμάτισε ένα σημαντικό ρόλο στην καριέρα του Χαίρερ, είναι γνωστή ως η εξίσωση ΚΠΖ, από τα αρχικά των φυσικών Μεχράν Καρδάρ, Τζιόρτζιο Παρίζι και Γι-Τσενγκ Ζανγκ που την επινόησαν το 1986. Η εξίσωση ΚΠΖ περιγράφει την συμπεριφορά της επαφής δύο διαφορετικών υλικών με το χρόνο.
  Για παράδειγμα, κατά την κατασκευή μίας οθόνης υγρών κρυστάλλων, αποθέτονται σταγόνες υγρών κρυστάλλων μεταξύ δύο φύλλων γυαλιού. Οι σταγόνες αντιδρούν μεταξύ τους, συνενώνονται και σταδιακά επεκτείνονται ώστε να καλύψουν όλη την επιφάνεια. Σε μία κλίμακα πολύ μικρότερη από αυτή που είναι ορατή με το μάτι, τα μόρια κινούνται σε τυχαίες τροχιές και η εξίσωση ΚΠΖ περιγράφει τη συμπεριφορά αυτής της επιφάνειας. Μία λύση της, θα έδινε για κάθε χρόνο t σε κάθε σημείο του γυαλιού, το ύψος της επιφάνειας υγρών κρυστάλλων που έχει σχηματιστεί από πάνω του.
  Επειδή όμως η εξίσωση ΚΠΖ δεν είναι γραμμική, θεωρείται πως δεν είναι  σωστά ορισμένη, καθώς περιέχει ένα τετραγωνικό όρο και συνεπώς δε μπορεί να περιγράφει μία κατανομή. Οι ερευνητές είχαν βρει ορισμένες ειδικές περιπτώσεις που παρέκαμπταν αυτή τη δυσκολία, όμως ο Χαίρερ, με έναν εντυπωσιακό τρόπο δημιούργησε μία εναλλακτική προσέγγιση στην ΚΠΖ, επιτρέποντας τον ακριβή μαθηματικό ορισμό της.
  Ακόμη πιο σημαντικό  είναι πως χρησιμοποίησε τις ιδέες αυτές για το σχηματισμό μίας γενικότερης θεωρίας, της θεωρίας της κανονικότητας των επιφανειών, που εφάρμοσε σε μία ευρεία κατηγορία μερικών διαφορικών εξισώσεων, με περισσότερες διαστάσεις από τη μία χωρική διάσταση της εξίσωσης ΚΠΖ (η ΚΠΖ προσεγγίζει ιδεατά τη διεπαφή ως μία μονοδιάστατη καμπύλη).
  Η γενικότερη θεωρία του Χαίρερ περιλαμβάνει και μη ορθά ορισμένες στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις περισσότερων διαστάσεων οι οποίες πλέον μπορούν να μελετηθούν σε πολύ μικρές κλίμακες υπό το πρίσμα της επέκτασης κατά Τέιλορ, μίας γνωστής μαθηματικής μεθόδου για την προσομοίωση της συμπεριφοράς των συναρτήσεων. Πλέον ο Χαίρερ ηγείται του τομέα, επεκτείνοντας συνεχώς το θεωρητικό του κατασκεύασμα.
  Μάριαμ Μιρζακάνι
  Η πρώτη γυναίκα στον κόσμο που έλαβε το βραβείο Φιλντς, γεννήθηκε το 1977 στην Τεχεράνη και σήμερα είναι καθηγήτρια στο πανεπιστήμιο Πρίνστον. Η Μάριαμ Μιρζακάνι έγινε κυρίως γνωστή για την εργασία της στη γεωμετρία και τα δυναμικά συστήματα και συγκεκριμένα για επιφάνειες Ρίμαν και τους παραμετρικούς τους χώρους, συνενώνοντας διάφορους κλάδους των μαθηματικών όπως η υπερβολική γεωμετρία, η μιγαδική ανάλυση, η τοπολογία και τα δυναμικά συστηματα.
  
  

  

  
  

  H Μάριαμ Μιρζακάνι.

  Οι επιφάνειες Ρίμαν πήραν το όνομά τους από το μεγάλο μαθηματικό του 19ου αιώνα Μπέρναρντ Ρίμαν ο οποίος ήταν και ο πρώτος που κατανόησε τη σημασία των αφηρημένων επιφανειών. Μαθηματικοί που συνέχισαν το έργο του Ρίμαν, χρειάστηκαν περισσότερα από 100 χρόνια για να κατανοήσουν πως οι επιφάνειες αυτές μπορούν να κατηγοριοποιηθούν τοπολογικά, δηλαδή με τη χρήση ενός και μόνο αριθμού, που μετράει τα “χερούλια” στην κάθε επιφάνεια. Ο αριθμός αυτός καλείται γένος και για παράδειγμα μία σφαίρα έχει γένος μηδέν, ένα ντόνατ ή ένα φλιτζάνι καφέ έχει γένος ένα κ.ό.κ.  Εάν κάποιος δεν εξετάσει το συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα, υπάρχει ακριβώς μία επιφάνεια για κάθε γένος g, όπου g είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Μία επιφάνεια καλείται επιφάνεια Ρίμαν εάν έχει επιπλέον την κατάλληλη γεωμετρική δομή ώστε κάποιος να μπορεί να εκτελέσει μιγαδική ανάλυση επάνω της. Καθώς οι μιγαδικοί αριθμοί αποτελούνται από δύο παραμέτρους, μία επιφάνεια δύο πραγματικών διαστάσεων έχει μία μιγαδική διάσταση και αποκαλείται και ως μιγαδική καμπύλη. Κάθε μιγαδική καμπύλη είναι και μία αλγεβρική καμπύλη, κάτι που σημαίνει πως αν και έχει οριστεί αφηρημένα, μπορεί να περιγραφεί με αλγεβρικό τρόπο σε έναν οποιοδήποτε χώρο, που περιγράφεται με τη βοήθεια πολυωνυμικών εξισώσεων.
  Ένας εναλλακτικός τρόπος προσέγγισης των επιφανειών Ρίμαν είναι μέσω της γεωμετρίας και του συνεπακόλουθου υπολογισμού γωνιών, μέτρων και εμβαδών. Η πιο σημαντική γεωμετρία που επιτρέπει κάτι τέτοιο είναι η υπερβολική γεωμετρία, η οποία αναπτύχθηκε από τους Μπολιάι, Γκάους και Λομπατσέφσκι ως εναλλακτικό παράδειγμα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Η ισοδυναμία μεταξύ μιγαδικής αλγεβρικής ανάλυσης και των υπερβολικών δομών σε επιφάνειες βρίσκεται στο κέντρο της θεωρίας των επιφανειών Ρίμαν.
  Το πρώιμο έργο της Μιρζακάνι αφορούσε τις γεωδαισιακές σε μία υπερβολική επιφάνεια. Μία καμπύλη ονομάζεται γεωδαισιακή, όταν το μήκος της δε μπορεί να μειωθεί όσο και εάν την παραμορφώσει κανείς. Σε μία αναλογία με την Ευκλείδεια γεωμετρία, οι γεωδαισιακές γραμμές είναι η επέκταση της έννοιας της ευθείας γραμμής.
  Ένα θεώρημα που αποδείχτηκε πριν από περίπου 50 χρόνια δείχνει ένα συγκεκριμένο τρόπο υπολογισμού του αριθμού των κλειστών γεωδαισιακών σε μία επιφάνεια, μήκους μικρότερου από L. O αριθμός αυτός μεγαλώνει εκθετικά με το L, ακολουθώντας ασυμπτωτικά τη σχέση eL/L για μεγάλα L. To θεώρημα αυτό καλείται “το πρώτο θεώρημα αριθμών για γεωδαισιακές”, σε αναλογία με το “θεώρημα των πρώτων αριθμών” που εκτιμά τον αριθμό των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι μίας συγκεκριμένης τιμής.
  Η Μιρζακάνι μελέτησε τι συμβαίνει στο θεώρημα αυτό όταν κανείς έψαχνε για απλές γεωδαισιακές, που είναι εκείνες που δεν τέμνουν καμία άλλη γεωδαισιακή. Η συμπεριφορά σε αυτή την περίπτωση είναι πολύ διαφορετική, μη ακολουθώντας πλέον τον εκθετικό νόμο, αλλά για μεγάλα L είναι της τάξης του L6g-6 όπου g είναι το γένος. Αυτό το συμπέρασμα ισχύει για κάθε αφηρημένη υπερβολική επιφάνεια, αφού οι μιγαδικές δομές με γένος g σχηματίζουν ένα συνεχή χώρο.
  Ο ίδιος ο Ρίμαν γνώριζε πως αυτά τα γεωμετρικά σχήματα εξαρτώνται από 6g-6 παραμέτρους, κάτι που σήμαινε πως ο παραμετρικός χώρος των επιφανειών Ρίμαν γένους g είχε διάσταση 6g-6, χωρίς ωστόσο να είναι γνωστές περισσότερες πληροφορίες για τους χώρους αυτούς.
  Στην απόδειξη του αριθμού των κλειστών απλών γεωδαισιακών σε μία επιφάνεια, η Μιρζακάνι μπόρεσε να διεισδύσει στη δομή των παραμετρικών χώρων αναπτύσσοντας συνδέσμους μεταξύ του όγκου τους και του προβλήματος του υπολογισμού του αριθμού των γεωδαισιακών. Αυτή η οπτική οδήγησε τη Μιρζακάνι σε μία νέα διορατικότητα για τη δομή των παραμετρικών χώρων η οποία με τη σειρά της επηρέασε την έρευνα στον κλάδο. Μεταγενέστερες εργασίες της στα δυναμικά συστήματα και τους παραμετρικούς χώρους έχουν δημιουργήσει νέες τεχνικές και έχουν ανοίξει νέους δρόμους έρευνας που οδηγούν σε ανεξερεύνητες περιοχές των μαθηματικών.
  Αρτούρ Αβίλα
  Γεννημένος το 1979 στη Βραζιλία, ο Αρτούρ Αβίλα είναι καθηγητής στο πανεπιστήμιο Παρί 7, στo Παρίσι.  Είναι γνωστός για την εργασία του στην ανάλυση των δυναμικών συστημάτων, έχοντας αποδείξει θεωρήματα με τη χρήση των οποίων λύθηκαν μακροχρόνια προβλήματα σε αυτό το πεδίο. Ηγείται του τομέα και έχει σημειώσει μεγάλη πρόοδο σε τομείς όπως την μονοδιάστατη πραγματική και μιγαδική ανάλυση δυναμικών συστημάτων, την ανάλυση του φάσματος του τελεστή Σρέντριγκερ ή τα μερικώς υπερβολικά δυναμικά συστήματα.
  
  

  

  
  

  Ο Αρτούρ Αβίλα.

  Η εργασία του στα μονοδιάστατα πραγματικά δυναμικά συστήματα ολοκλήρωσε την κατανόηση του πεδίου, συνδυάζοντας την περιγραφή του προβλήματος μέσω πιθανοτήτων μαζί με τη θεωρία κανονικοποίησης, ενώ το έργο του στα μιγαδικά συστήματα χρησιμοποιήθηκε στην κατανόηση της γεωμετρίας των φράκταλ και των συνόλων Φάιγκενμπαουμ-Τζούλια. Μία από τις πρώτες συνεισφορές του σχετίζεται με τη θεωρία του χάους, η οποία γνώρισε άνθηση τη δεκαετία του '70 όταν ο Μίτσελ Φάιγκενμπαουμ μελετούσε το πως μπορούσαν να προκύψουν χαοτικά συστήματα από πολύ απλούστερα συστήματα. Ένα παράδειγμα αποτελεί η συμπεριφορά απλών συναρτήσεων όπως της 3x(1-x) και τι συμβαίνει όταν σαν όρισμα παίρνει τον ίδιο της τον εαυτό. Ορισμένες συναρτήσεις με τον τρόπο αυτό καταλήγουν σε σταθερές τροχιές, γυρνώντας γύρω από το ίδιο σημείο ξανά και ξανά, ωστόσο άλλες τροχιές καταλήγουν να είναι χαοτικές, μη μπορώντας να προβλέψει κανείς τη συμπεριφορά τους.
  Η μελέτη των τροχιών αυτών προσεγγίζεται με στοχαστικό τρόπο κάτι στο οποίο εργάστηκε ο Αβίλα, ο οποίος το 2003 μαζί με τον Γουέλιγκτον ντε Μέλο και το Μίκαϊλ Λιούμπιτς εξέδωσαν μία εργασία που αφορούσε σε μία μεγάλη ποικιλία από δυναμικά συστήματα, παρέχοντας ένα πλαίσιο για τη μελέτη της συμπεριφοράς τους.
  Μία ακόμη συνεισφορά του Αβίλα στα μαθηματικά έχει να κάνει με το ασθενές ανακάτεμα: όταν κάποιος προσπαθεί να ανακατέψει μία τράπουλα απλά “κόβωντας” τη, χωρίζοντας τη δηλαδή στα δύο και τοποθετώντας το πάνω μέρος κάτω από το άλλο, τότε η τράπουλα δεν ανακατεύεται καλά, αλλά τα χαρτιά ακολουθούν ένα κυκλικό μοτίβο. Αυτή είναι και η γενική ιδέα που ανέπτυξε ο Αβίλα μαζί με το Τζιοβάννι Φόρνι για το ανακάτεμα, όχι όμως μίας τράπουλας αλλά για κλειστά διαστήματα τα οποία χωρίζονται σε μικρότερα υποδιαστήματα.
  Για παράδειγμα, έστω ένα διάστημα που ενώνει τα σημεία ABCD και ένας χάρτης που ορίζει την εναλλαγή των υποδιαστημάτων κατασκευάζοντας το DCAB. Συνεχίζοντας την εναλλαγή σε πιο σύνθετα διαστήματα, κάποιος καταλήγει σε ένα δυναμικό σύστημα και οι ερευνητές μελέτησαν το πόσο ανακατεύονται στην πράξη τα συστήματα αυτά, ορίζοντας την ασθενή μείξη η οποία περιγράφει ένα σύστημα που δεν ανακατεύεται πραγματικά, όπως και μία κομμένη τράπουλα. Στη συνέχεια απέδειξαν πως στις περισσότερες περιπτώσεις, η εναλλαγή διαστημάτων οδηγεί σε δυναμικά συστήματα με ασθενή μείξη.
  Ένα ακόμη παράδειγμα της δουλειάς του Αβίλα ήταν στην εξίσωση Σρέντιγκερ, η οποία για ένα συγκεκριμένο εύρος τιμών δίνει ένα ενεργειακό φάσμα που αποτελεί το σύνολο Κάντορ, ένα πολύ ενδιαφέρον μαθηματικό αντικείμενο που συνδέει τις αντιφατικές έννοιες της πυκνότητας και της αραιότητας. Το πρόβλημα, το οποίο τη δεκαετία του '80 έγινε γνωστό ως το “πρόβλημα των 10 μαρτίνι”, καθώς ο μαθηματικός Μαρκ Κακ είχε δηλώσει πως θα προσέφερε 10 μαρτίνι σε όποιον το έλυνε, είχε να κάνει με το κατά πόσο ένας συγκεκριμένος τελεστής Σρέντιγκερ, γνωστός και ως τελεστής Μαθιέ, ήταν στην πραγματικότητα το σύνολο Κάντορ.
  Το 2004 ο  Αβίλα και η Σβετλάνα Γιτομίρσκαγια έλυσαν το πρόβλημα, δείχνοντας μάλιστα πως αποτελούσε μονάχα την κορυφή του παγόβουνου ενός πολύ πιο σύνθετου προβλήματος, κάτι που 5 χρόνια αργότερα οδήγησε στη ανάπτυξη μίας γενικότερης θεωρίας στην οποία συνδυάζονται η θεωρία των δυναμικών συστημάτων  και τεχνικές κανονικοποίησης.
  Μαντζούλ Μπαργκάβα
  Ο Μαντζούλ Μπαργκάβα γεννήθηκε το 1974 στον Καναδά, έγινε καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Πρίνστον το 2003 και είναι κυρίως γνωστός για τη συνεισφορά του στη θεωρία αριθμών.
  Ακόμη νεαρός, διάβασε το μνημειώδες έργο του Καρλ Γκάους Disquisitiones Arithmeticae ένα βιβλίο παροιμιώδους δυσκολίας που λίγοι μαθηματικοί έχουν ολοκληρώσει, βρίσκοντας σε αυτό μία αστείρευτη πηγή έμπνευσης. Ο Γκάους ενδιαφερόταν για πολυώνυμα της μορφής ax2+bxy+cy2, όπου a και b ακέραιοι αριθμοί, αναπτύσσοντας ένα πολύ έξυπνο κανόνα με το οποίο δύο τέτοιες τετραγωνικές μορφές συνδυάζονται, παράγοντας μία τρίτη. Ο κανόνας αυτός παραμένει βασικό εργαλείο στην αλγεβρική θεωρία αριθμών.
  
  

  

  
  

  O Μαντζούλ Μπαργκάβα.

  Ο Μπαργκάβα, διαβάζοντας τις 20 σελίδες των υπολογισμών του Γκάους, γνώριζε πως θα υπήρχε και πιο αποδοτικός τρόπος για να συνθέσει τον κανόνα. Μία ημέρα παίζοντας με τον κύβο του Ρούμπικ, τον βρήκε. Ο Μπαργκάβα σκέφτηκε να ονομάσει κάθε γωνία του κύβου με ένα αριθμό και μετά να τον κόψει κάθετα παίρνοντας δύο σύνολα από 4 αριθμούς. Κάθε ένα από τα σύνολα των 4 αριθμών σχημάτιζε ένα πίνακα, ο οποίος μετά από μερικούς απλούς υπολογισμούς έπαιρνε τετραγωνική μορφή. Από τους τρεις διαφορετικούς τρόπους να κόψει κανείς ένα κύβο προέκυπταν τρεις διαφορετικές τετραγωνικές φόρμες, που είχαν όμως όλες την ίδια διακρίνουσα, ακριβώς όπως και στον κανόνα του Γκάους.  Στη συνέχεια συνειδητοποίησε πως μπορούσε να επεκτείνει τον αρχικό κύβο, παίρνοντας πολυώνυμα μεγαλύτερου βαθμού, βρίσκοντας 13 ακόμη παρόμοιους κανόνες, κάτι με το οποίο δεν είχε ασχοληθεί κανείς άλλος στο παρελθόν.
  Ο λόγος για τον οποίο ο κανόνας του Γκάους είναι τόσο σημαντικός είναι γιατί παρέχει πληροφορίες για τετραγωνικά πεδία αριθμών. Τα πεδία αριθμών κατασκευάζονται επεκτείνοντας το σύνολο των ρητών αριθμών ώστε να περιλαμβάνει μη ρητές ρίζες πολυωνύμων. Εάν το πολυώνυμο είναι τετραγωνικό, τότε λαμβάνει κανείς ένα τετραγωνικό πεδίο αριθμών.
  Με τους νέους του νόμους, ο Μπαργκάβα έθεσε νέες βάσεις στη μελέτη των πεδίων αριθμών, αναπτύσσοντας τεχνικές που επέκτειναν σημαντικά τη “γεωμετρία αριθμών”, μία μελέτη του τρισδιάστατου χώρου που ανέπτυξε ο Γκάους και ο Ερμάν Μινκόφσκι, όπου ο χώρος είναι σας ένας κρύσταλλος, καταδεικνύοντας τα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες.