Μαθηματικά και Μουσική

Ένα από τα θέματα της μουσικής, που απασχόλησε τους πρώτους θεωρητικούς της, ήταν τα μουσικά διαστήματα. Ξεκινώντας από απλές, για τα σημερινά δεδομένα, προτάσεις, κάνοντας "υπολογισμούς" με τις τότε γνωστές μαθηματικές θεωρίες, οι άνθρωποι αυτοί μας παρέδωσαν έναν ανεκτίμητο θησαυρό γύρω από το θέμα "Μουσικό διάστημα".
Σύμφωνα με τους αρχαίους θεωρητικούς της μουσικής:

• "Διάστημα εστί το υπό δύο φθόγγων ωρισμένον, μη την αυτήν τάσιν εχόντων". (Αριστόξενος). Η λέξη τάση παράγεται από το ρήμα τείνω, που σημαίνει τεντώνω. Σημαίνει λοιπόν το τέντωμα μιας χορδής κι, επομένως, το μουσικό ύψος ενός φθόγγου. Ο Κλεονίδης αναφέρει σχετικά: "καλούνται δε αι τάσεις και φθόγγοι. Τάσεις μεν παρά το τετάσθαι, φθόγγοι επεί υπό φωνής ενεργούνται".
• "Διάστημα εστί το υπό δύο φθόγγων περιεχόμενον" (Γαυδέντιος ο Φιλόσοφος)
• "Διάστημα δε (εστί) το περιεχόμενον υπό δύο φθόγγων ανομοίων οξύτητι και βαρύτητι". (Κλεονίδης. Τον ίδιο ορισμό δίνει και ο Βακχείος).

Το ποιο γνωστό μουσικό όργανο που χρησιμοποιήθηκε για τον προσδιορισμό των μουσικών διαστημάτων ήταν το μονόχορδο. Όπως φαίνεται από το όνομά του, ήταν ένα όργανο με μία χορδή που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι (Th. Reinach La mus. gr. 127). Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο. Ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος [σ΄ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80].
Προς την κατεύθυνση του καθορισμού των τονιαίων διαστημάτων της Βυζαντινής Μουσικής, εργάσθηκε πρώτος ο θεωρητικός Χρύσανθος. Τ΄ αποτελέσματα της εργασίας του περιέχονται στο Μέγα Θεωρητικόν.
Σύμφωνα με τον Χρύσανθο, η σειρά των οκτώ φθόγγων της διατονικής κλίμακας είναι η παρακάτω:
                            Πα - Βου - Γα - Δι - Κε - Ζω - Νη - Πα',
διακρίνουν οι μουσικοί επτά διαστήματα. Πα - Βου, Βου - Γα, Γα - Δι, Δι - Κε, Κε - Ζω, Ζω - Νη, Νη - Πα'. Αυτά τα διαστήματα τα ονομάζουμε όλα τόνους. Κατά δε τους αρχαίους Έλληνες τα μεν πέντε ονομάζονται τόνοι, τα δε δύο Ζω - Νη και Βου - Γα ονομάζονται λείμματα. Κατά δε τους ευρωπαίους Κε - Ζω, Βου - Γα ονομάζονται ημίτονα τα δε λοιπά πέντε τόνοι. 
Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι την "Ευρωπαϊκή διάσταση" της κλίμακας που περιγράφει ο Χρύσανθος, τη δίνει σωστά ο Νικόλαος Παγανάς στην κλίμακα που παρατίθεται στον Πρώτο ήχο. 
Και ο συγγραφέας του Μεγάλου Θεωρητικού συνεχίζει αναφέροντας ότι ο μείζων τόνος έχει λόγο προς μεν τον ελάσσονα τόνο 12 προς 9. Προς δε τον ελάχιστον 12 προς 7. Άρα και ο ελάσσων τόνος έχει προς μεν τον μείζονα τόνο, τα 9 προς τα 12. Προς δε τον ελάχιστον 9 προς 7. Επομένως και ο ελάχιστος τόνος έχει λόγο προς μεν τον μείζονα τόνο 7 προς12, προς δε τον ελάσσονα 7 προς τα 9. Ώστε αν υποτεθεί ότι το διάστημα του μείζονος τόνου είναι ίσο με 12 γραμμές, βρίσκεται ότι το διάστημα του μεν ελάσσονος τόνου ισούται με 9 γραμμές, του δε ελάχιστου τόνου ισούται με 7 γραμμές.

Διαφωνίες σχετικά με τον τρόπο που εργάσθηκε ο Χρύσανθος για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων στην πανδουρίδα εξέφρασαν τα μέλη της Μουσικής Πατριαρχικής Επιτροπής. Η εν λόγω επιτροπή συστάθηκε το 1881 και την αποτελούσαν: ο Αρχ. Γερμανός Αφθονίδης, ο Πρωτοψάλτης Γεώργιος Βιολάκης, ο Ευστράτιος Παπαδόπουλος, ο Ιωάσαφ μοναχός, ο Παναγιώτης Κηλτζανίδης, ο Ανδρέας Σπαθάρης και ο Γεώργιος Πρωγάκης. Η επιτροπή βελτίωσε ουσιαστικά ορισμένα σημεία του θεωρητικού έργου του Χρυσάνθου.
Η Μουσική Επιτροπή εργάσθηκε στο Φανάρι ως εξής: σύμφωνα με τις οδηγίες που παρέχει το Μέγα Θεωρητικό, όρισε τους δεσμούς σε χορδή προς παραγωγή του τετραχόρδου Δι - Νη, λαμβάνοντας

• για τον Δι το μήκος της χορδής 1
• για τον Κε το μήκος της χορδής τα 8/9
• για τον Ζω το μήκος της χορδής τα 22/27
• για τον Νη το μήκος της χορδής τα 3/4

 Στις θέσεις αυτές και στο μάνικο εγχόρδου οργάνου τοποθετήθηκαν κινούμενα τάστα. Παρ΄ όλα αυτά όμως υπήρχαν προβλήματα: "εντεύθεν φαίνεται ότι βασιλεύει σύγχισις περί την βάσιν αυτής της εργασίας. Αλλά εκτός της συγχίσεως ταύτης αμφότεραι αι αναλογίαι αυταί ουδέν σημαίνουσιν ακουστικώς. Οι δε αριθμοί 12, 8, 7 ή 88, 66, 63 δύνανται το πολύ να έχωσιν εικονικήν σημασίαν .... Εν τη παραδόσει λοιπόν μόνη νομίζει η Επιτροπή ότι έγκειται η θεραπεία του κακού". Γι΄ αυτό λοιπόν το σκοπό κλίθηκαν οι δάσκαλοι της εποχής οι οποίοι ακούγοντας τα διαστήματα τα προτεινόμενα από την Επιτροπή, "εξέφραζον την εαυτών γνώμην. Και εάν μεν η απόδοσις εμαρτυρείτο πιστή και γνησία, συνεκρίνοντο οι φθόγγοι του υπ΄ όψιν οργάνου (του ψαλτηρίου) δι ομοφωνίας προς τους φθόγγους του μονοχόρδου και εσημειούντο τα αντίστοιχα μήκη της αυτής χορδής επί τας υπό την βάσανον διαιρέσεις. Ει δε μη, απερρίπτοντο αυταί ως εσφαλμένοι και νόθοι". Από τις παραπάνω θέσεις καθιερώθηκαν τα μήκη χορδών
    

Νη1	Πα1	Βου1	Γα1	Δι1	Κε1	Ζω1	Νη2
1	8/9	81/100	3/4	2/3	16/27	27/50	1/2

Νη2	Πα2	Βου2	Γα2	Δι2	Κε2	Ζω2	Νη3
1/2	4/9	81/200	3/8	1/3	8/27	27/100	1/4

Από τη φυσική γνωρίζουμε ότι η συχνότητα ενός ήχου είναι αντιστρόφως ανάλογη του μήκους χορδής. Μ΄ αυτόν τον τρόπο προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις συχνοτήτων με αναφορά το φθόγγο Νη₁

Νη1	Πα1	Βου1	Γα1	Δι1	Κε1	Ζω1	Νη2
1	9/8	100/81	4/3	3/2	27/16	50/27	2

Νη2	Πα2	Βου2	Γα2	Δι2	Κε2	Ζω2	Νη3
2	9/4	200/81	8/3	3/1	27/8	100/27	4

Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις.
Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λ.π. Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων.
Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης

        μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f₂/f₁)/log2

στην παραπάνω σχέση, όπου f₁, f₂ οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f₂>f_1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων.

Συγκερασμοί για τα μουσικά διαστήματα

Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια.

ΤΙΜΗ ΣΤΑΘΕΡΑΣ k	ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΜΟΝΑΔΑΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ
12	Συγκερασμένο Ευρωπαϊκό ημιτόνιο
53	κόμμα του Μερκάτορα
68	Αραβική μονάδα, βυζαντινό ηχομόριο
72	Βυζαντινό ηχομόριο
301	Savart
665	Delfi unit
1200	cent