Κυριακή, 30 Δεκεμβρίου 2012

Τα μαθηματικά του κελαϊδίσματος


Ενα στατιστικό μοντέλο εξηγεί πώς τα πουλιά - και μαζί και εμείς οι άνθρωποι - μαθαίνουν από τα λάθη τους
Οι ερευνητές φόρεσαν στους σπίνους ακουστικά για να δούν πώς μαθαίνουν από τα λάθη τους όταν κελαηδούν Πηγή Emory Universith



Ουάσινγκτον 
Πώς τα ωδικά πτηνά μαθαίνουν να κελαηδούν σωστά, χωρίς φάλτσα; Αν ποτέ σας έχει απασχολήσει το ερώτημα, η επιστήμη είναι τώρα σε θέση να σας παρουσιάσει το πρώτο μαθηματικό μοντέλο που προβλέπει την ικανότητα των πουλιών να μαθαίνουν τη σωστή «ορθοφωνία» διδασκόμενα από τα λάθη τους. Αν πάλι θεωρείτε το ζήτημα άνευ ουσίας, οι ειδικοί μπορούν εύκολα να σας πείσουν περί του αντιθέτου. Το μοντέλο τους μπορεί να επεκταθεί σε όλα τα είδη, αποκαλύπτοντας πώς και εμείς οι άνθρωποι μαθαίνουμε από τα λάθη μας, ενώ παράλληλα μπορεί να βοηθήσει στην ανάπτυξη νέων θεραπειών για την αποκατάσταση της ομιλίας.
Μωρουδίστικα τραγούδια
Η μελέτη διεξήχθη από τον βιολόγο Σάμιουελ Σέιμπερ του Πανεπιστημίου Εμορι και τον φυσιολόγο Μάικλ Μπρέιναρντ του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Σαν Φρανσίσκο σε κοινωνικούς σπίνους – γνωστοί και ως σπίνοι της Βεγγάλης (Lonchura striata domestica). Στόχος της ήταν η ανάπτυξη ενός μοντέλου το οποίο θα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διερεύνηση των μηχανισμών με τους οποίους ο εγκέφαλος μαθαίνει διορθώνοντας τα – φωνητικά στην περίπτωση αυτή – λάθη του.
Ακριβώς όπως εμείς οι άνθρωποι μαθαίνουμε να μιλάμε, τα μωρά των σπίνων μαθαίνουν να κελαηδούν ακούγοντας τους μεγάλους. Μόλις μερικές ημέρες αφού βγουν από το αβγό, οι μικροί σπίνοι της Βεγγάλης αρχίζουν να μιμούνται τους ήχους που βγάζουν τα ενήλικα πτηνά. «Στην αρχή το τραγούδι τους είναι υπερβολικά μεταβλητό και άναρθρο» εξηγεί ο κ. Σέιμπερ. «Σαν μωρουδίστικα, στην ουσία».
Στη συνέχεια ωστόσο τα μικρά εξασκούνται διαρκώς, ακούγοντας τους ήχους που βγάζουν κάθε φορά και διορθώνοντας τα λάθη που εντοπίζουν σε αυτούς. Με τον τρόπο αυτό κάποια στιγμή φθάνουν τα κελαηδούν όπως τα μεγαλύτερά τους πουλιά.
Πώς μαθαίνουμε από τα λάθη μας
Όπως τα παιδιά των ανθρώπων έτσι και τα μικρά των πτηνών κάνουν πολλά «μεγάλα» και «μικρά» λάθη καθώς μαθαίνουν να μιλούν ή να κελαηδούν – και έχουν την ικανότητα να τα διορθώνουν. Στους ενήλικες – ανθρώπους και πτηνά – η «μεταβλητότητα» στην επιδιόρθωση των λαθών είναι πολύ μικρότερη. Σύμφωνα με μια θεωρία αυτό συμβαίνει επειδή ο εγκέφαλος, για λόγους ασφαλείας, «φιλτράρει» τα λάθη, αποκλείοντας τα μεγάλα και επικεντρώνοντας την προσοχή του στα μικρότερα.
«Για να διορθώσει τα λάθη ο εγκέφαλος είναι αναγκασμένος να βασιστεί στις αισθήσεις» λέει ο κ. Σέιμπερ. «Το πρόβλημα είναι ότι οι αισθήσεις είναι αναξιόπιστες. Αν υπάρχει θόρυβος στο περιβάλλον, για παράδειγμα, ο εγκέφαλος μπορεί να θεωρήσει ότι δεν ακούει καλά και να αγνοήσει την αισθητική εμπειρία». Η σχέση ανάμεσα στη μεταβλητότητα της επιδιόρθωσης των λαθων και στην ικανότητα εκμάθησης ίσως εξηγεί, σύμφωνα με τους επιστήμονες, γιατί τα μικρά παιδιά μαθαίνουν πιο γρήγορα ενώ οι ενήλικες δεν προσαρμόζονται εύκολα στις αλλαγές και στις νέες συνθήκες.
«Είτε είναι κάποιος τραγουδιστής της όπερας είτε είναι πουλί υπάρχει πάντα μεταβλητότητα στους ήχους του» εξηγεί ο ειδκός. «Όταν ο εγκέφαλος συλλαμβάνει ένα λάθος στον τόνο φαίνεται ότι χρησιμοποιεί αυτή την απλή αλλά κομψή στρατηγική για να αξιολογήσει την πιθανότητα αυτό το λάθος να είναι απλώς ένας εξωτερικός θόρυβος – ένα πρόβλημα στην ανάγνωση του σήματος – ή ένα πραγματικό λάθος στην εκφώνηση».
Μικρό λάθος, καλύτερη εκμάθηση
Οι ερευνητές θέλησαν να ποσοτικοποιήσουν τη σχέση ανάμεσα στο μέγεθος ενός λάθους και την πιθανότητα που υπήρχε το λάθος αυτό να διορθωθεί από τον εγκέφαλο. Για τον λόγο αυτό, όπως περιγράφουν στο σχετικό άρθρο τους που δημοσιεύθηκε στην επιθεώρηση «Proceedings of the National Academy of Sciences», φόρεσαν στους σπίνους μικροσκοπικά ακουστικά. Μέσω αυτών τους «ξαναέπαιζαν» το τραγούδι τους κάνοντας παρεμβολές με τρόπο ώστε να τους ξεγελούν και να νομίζουν ότι κάνουν οι ίδιοι κάποιο λάθος.
«Όταν κάναμε μικρές αλλαγές στον τόνο τα πουλιά μάθαιναν πολύ καλά και διόρθωναν τα λάθη γρήγορα» λέει ο κ. Σέιμπερ. «Οσο μεγαλώναμε τις μεταβολές στον τόνο τα πουλιά μάθαιναν λιγότερο καλά ώσπου, σε ένα συγκεκριμένο σημείο, έπαυαν πια να μαθαίνουν».
Με βάση αυτά τα δεδομένα οι ειδικοί ανέπτυξαν το πρώτο μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει το κατά πόσον ένα πουλί μπορεί να μάθει από τα λάθη του ανάλογα με το μέγεθος αυτών των λαθών καθώς και το σημείο στο οποίο αυτή η ικανότητα αυτή σταματά. «Ελπίζουμε ότι αυτό το μαθηματικό πλαίσιο σχετικά με το πώς τα πουλιά μαθαίνουν να κελαηδούν θα βοηθήσει στην ανάπτυξη συμπεριφορικών θεραπειών για την αποκατάσταση της ομιλίας στους ανθρώπους αλλά και θα αυξήσει τη γενικότερη κατανόησή μας σχετικά με το πώς ο εγκέφαλός μας μαθαίνει» τόνισε ο ερευνητής.

Mε ποιά φορά κινείται η κοπέλα;


Τι βλέπετε στην παρακάτω εικόνα; Η κοπέλα κινείται  με την κατεύθυνση που κινούνται οι δείκτες του ρολογιού ή το αντίθετο;

1.) Αν βλέπετε πως η κοπέλα κινείται προς τα δεξιά όπως οι δείκτες του ρολογιού,τότε χρησιμοποιείτε πιο πολύ το δεξί σας ημισφαίριο.

2.) Αν σας συμβαίνει το αντίθετο τότε χρησιμοποιείτε πιο πολύ το αριστερό σας.

3.) Αν μπερδεύεστε και τη βλέπετε μία να κινείται προς τα δεξιά και μετά αλλάζετε γνώμη και νομίζετε πως κινείται και προς τα αριστερά (χωρίς να τραβήξετε το βλέμμα σας από την φωτογραφία), συγχαρητήρια! Μάλλον έχετε φοβερό μυαλό και το IQ σας κυμαίνεται στο 160.

Αυτό το τέστ επινοήθηκε από το  Yale University.

Tι είναι ο χρόνος;


"Τι είναι ο χρόνος; Αν δεν με ρωτήσει κανείς ξέρω. Αν μου ζητήσει όμως κάποιος να του το εξηγήσω , δεν ξέρω."  Άγιος Αυγουστίνος.

Ο χώρος και ο χρόνος του Νεύτωνα.
Το 1687 ο Ισαάκ Νεύτων παρουσίασε το πρώτο μαθηματικό μοντέλο για τον χώρο και τον χρόνο στο έργο του "Μαθηματικές αρχές της φυσικής φιλοσοφίας". Στο μοντέλο αυτό ο χρόνος και ο χώρος συνιστούσαν ένα υπόβαθρο όπου διαδραματίζονταν τα γεγονότα , το οποίο όμως δεν επηρεαζόταν από αυτά. Ο χρόνος ήταν διαχωρισμένος από τον χώρο και θεωρούνταν ως μια ανεξάρτητη γραμμή η οποία επεκτεινόταν επ'άπειρον και προς τις δύο κατευθύνσεις. Θεωρούνταν δηλαδή παντοτινός με την έννοια ότι είχε υπάρξει από πάντα και θα υπήρχε για πάντα.   

Ο χώρος και ο χρόνος του Αϊνστάιν
Το 1915 ο Άλμπερτ Αϊνστάιν πρότεινε ένα εντελώς διαφορετικό μαθηματικό μοντέλο για τον χώρο και τον χρόνο: "τη θεωρία της σχετικότητας". Η θεωρία αυτή , η οποία συμφωνεί με τα αποτελέσματα μεγάλου πλήθους πειραμάτων , καταδεικνύει ότι χώρος και χρόνος είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι. Μάλιστα μετέτρεψε τον χώρο και τον χρόνο , από παθητικό υπόβαθρο στο οποίο λάμβαναν χώρα τα γεγονότα , σε ενεργούς μετόχους της δυναμικής του Σύμπαντος. Επιπλέον ο Αϊνστάιν βρήκε ότι οι λύσεις στις εξισώσεις του δεν περιέγραφαν ένα στατικό και αμετάβλητο Σύμπαν , αλλά αντίθετα ότι ο χρόνος , άρα και το ίδιο το Σύμπαν , έπρεπε να έχει ελάχιστη και μέγιστη τιμή , με άλλα λόγια αρχή και τέλος.

Παρότι από την εποχή του Αϊνστάιν εως σήμερα έχουν προστεθεί και νέα στοιχεία , το σημερινό μοντέλο για τον χώρο και τον χρόνο βασίζεται ουσιαστικά στη θεωρία της σχετικότητας. Ο Stephen Hawking είναι ένας από τους πολλούς επιστήμονες που ανέπτυξαν και επαλήθευσαν τη θεωρία του Αϊνστάιν.

Το ερώτημα όμως που τίθεται είναι το εξής: Γιατί αφού χώρος και χρόνος είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι , χρησιμοποιούμε διαφορετικές μονάδες μέτρησης;
Γιατί τον χώρο με τις 3 διαστάσεις που αντιλαμβανόμαστε (μήκος,πλάτος,ύψος) τον μετράμε με την ίδια μεζούρα , δηλαδή τα εκατοστά του μέτρου , ενώ τον χρόνο με διαφορετική , δηλαδή τα δευτερόλεπτα της ώρας; 
Αυτό οφείλεται στις ανθρώπινες αισθήσεις. Έτσι όπως είναι φτιαγμένες έχουν τη δυνατότητα να καταλάβουν γρήγορα τις 3 διαστάσεις του χώρου, όμως την 4η , δηλαδή τον χρόνο , δεν την αντιλαμβάνονται αμέσως, αλλά εμμέσως μέσω κάποιων ιδιοτήτων της.
Τι μετράνε λοιπόν τα ρολόγια και τα ημερολόγια των ανθρώπων; Σίγουρα όχι την μαθηματική διάσταση του χρόνου , αλλά την εμφάνιση , την εξέλιξη , τη φθορά και τον θάνατο της ύλης.

Επίλογος.
Οι αισθήσεις μας είναι αυτές που μας δίνουν το αίσθημα του χρόνου , και αυτές ακόμα μπορούν να μας παραπλανήσουν πολλές φορές , αφού η ψυχολογική διάθεση της στιγμής μας κάνει να δίνουμε και μια καινούργια σημασία του. Καταστάσεις και γεγονότα που μας ευχαριστούν "περνούν πιο γρήγορα από το κανονικό" και γεγονότα που μας δυσαρεστούν , νιώθουμε ότι διαρκούν πολύ.


Η αξία του χρόνου (ένα μη μαθηματικό μοντέλο)

Για να ανακαλύψεις την αξία ενός έτους,
ρώτησε ένα φοιτητή που απορρίφθηκε από τις τελικές εξετάσεις!
 
Για να ανακαλύψεις την αξία ενός μήνα,
ρώτησε την μητέρα που έφερε στον κόσμο ένα παιδί πολύ γρήγορα!
 
Για να ανακαλύψεις την αξία μιας ώρας,
ρώτησε τους ερωτευμένους που περιμένουν να συναντηθούν!
 
Για να ανακαλύψεις την αξία ενός λεπτού,
ρώτησε καποιον που μόλις έχασε το αεροπλάνο , το τρένο , το λεωφορείο!
 
Για να ανακαλύψεις την αξία ενός δευτερολέπτου, 
ρώτησε κάποιον που επέζησε από τροχαίο ατύχημα!

Για να ανακαλύψεις την αξία ενός χιλιοστού του δευτερολέπτου,
ρώτησε έναν αθλητή που κέρδισε το αργυρό μετάλλιο στους ολυμπιακούς αγώνες!

Σάββατο, 29 Δεκεμβρίου 2012

KΛΑΣΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΛΟΓΙΚΗΣ :ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΒΟΣΚΟΥ!!!



Το πρόβλημα του βοσκού αποτελεί ένα κλασσικό πρόβλημα λογικής (puzzle) :


Ένας βοσκός βρίσκεται στην άκρη ενός ποταμού έχοντας ένα πρόβατο, σανό και ένα κακό λύκο. Το πρόβατο τρώει το σανό και ο λύκος το πρόβατο, αλλά όταν είναι και ο βοσκός μαζί κάθονται φρόνιμα.
Θέλουν να περάσουν ένα ποτάμι με μια βάρκα η οποία χωράει μόνο 2 άτομα.
Πώς θα περάσουν χωρίς να έχουμε απώλειες;

Το πρόβλημα των σχοινιών του Maier

Η ικανότητα και αποτελεσματικότητα ενός ατόμου στη λύση προβλημάτων επηρρεάζεται , εκτός από τους γενικούς παράγοντες νοημοσύνης του, και από  παράγοντες που έχουν σχέση με την προϋπάρχουσα γνώση και πείρα του ατόμου.
Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι τα άτομα που έχουν περισσότερες γνώσεις είναι πολύ πιθανόν να παρουσιάζουν μεγαλύτερη ευχέρεια και αποτελεσματικότητα στη λύση προβημάτων. Η γνώση αυτή δεν είναι απλώς περισσότερη για τα συγκεκριμένα θέματα , αλλά και καλύτερα οργανωμένη  στη μνήμη, με αποτέλεσμα τα άτομα να εντοπίζουν ευχερέστερα τα στοιχεία εκείνα του προβλήματος που μπορούν να οδηγήσουν στη λύση του.
Η διαδικασία με την οποία συσχετίζουμε την προϋπάρχουσα γνώση σε νέες καταστάσεις χαρακτηρίζεται ως "μεταβίβαση"(transfer). H επιτυχία της μεταβίβασης αυτής είναι συνάρτηση των ομοίων στοιχείων που υπάρχουν μεταξύ της αποκτημένης γνώσης και της νέας κατάστασης του προβλήματος που έχουμε να λύσουμε.

Όμως , ενώ δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η προϋπάρχουσα γνώση κατά κανόνα διευκολύνει τη λύση προβλημάτων , είναι πιθανόν να αποτελεί ταυτόχρονα και ανασταλτικό παράγοντα. Αυτό οφείλεται στο ότι η εμπειρία μας για παράδειγμα στη χρήση αντικειμένων , περιορίζει τη δυνατότητα αξιοποιήσής τους για άλλο σκοπό. Το συγκεκριμένο πρόβλημα έχει ονομαστεί "λειτουργική προσκόλληση" και έχει αποδειχθεί στην κλασική μελέτη του Maier.

 Σε αυτήν την μελέτη το άτομο βρισκόταν σε ένα δωμάτιο και σκοπός του ήταν να δέσει δύο σχοινιά που κρέμονταν από την οροφή του δωματίου.
Όμως η απόσταση  μεταξύ των σχοινιών ήταν τόσο μεγάλη που ήταν αδύνατο στο άτομο να τα πιάσει ταυτόχρονα. Εκτός των σχοινιών στο δωμάτιο υπήρχαν και άλλα αντικείμενα μεταξύ των οποίων μια καρέκλα και μια τανάλια. 
Τα περισσότερα άτομα προσπαθώντας να λύσουν το πρόβλημα χρησιμοποίησαν διάφορες μεθόδους (όπως ανέβηκαν στην καρέκλα) , χωρίς αποτέλεσμα.
Για να λυθεί το πρόβλημα έπρεπε η τανάλια να δεθεί στο ένα σχοινί και να αφαιθεί να αιωρείται ως εκκρεμές. Ταυτόχρονα, κρατώντας το άλλο σχοινί θα μπορούσε να πιάσει το σχοινί με την κρεμασμένη τανάλια και έτσι να τα δέσει μεταξύ τους.

Το ζήτημα αυτό θα πρέπει να βρίσκεται στο μυαλό των μαθητών όταν καλούνται να αντιμετωπίσουν ένα πρόβλημα(όχι απαραίτητα μαθηματικό). Οι γνώσεις και η εμπειρία τους από παρόμοια προβλήματα θα πρέπει να μεθοδεύει τις όποιες προσπάθειες για λύση του , χωρίς όμως να περιορίζουν τη φαντασία τους. Μην ξεχνάμε ότι κινητήρια δύναμη όλων των επιστημών (και πόσο μάλλον των μαθηματικών) είναι η φαντασία και όχι η λογική.

Και όμως υπάρχει η ημερομηνία γέννησή σας στα δεκαδικά ψηφία του 'π"!


Όπως γνωρίζουμε ο αριθμός "π" είναι υπερβατικός αριθμός, με αποτέλεσμα τα δεκαδικά του ψηφία να είναι άπειρα. Ως εδώ όλα καλά, αλλά για να αντιληφθούμε και να πεισθούμε για την απειρία και των συνδυασμών που λαμβάνει αυτός ο περίεργος αριθμός, κάντε το εξής πείραμα:

Βήμα 1: Μπείτε στην ιστοσελίδα http://www.angio.net/pi/piquery.html#likely

Βήμα 2: Γράψτε στο πρώτο κελί την ημερομηνία γέννησή σας, πχ. Αν γεννηθήκατε 5 Μαΐου 1976, γράψτε 551976 και όχι 05051976 (γιατί τότε ενδέχεστε να είστε άτυχοι)

Βήμα 3ο: Πατήστε το κουμπί "Search pi"


Αυτό ήταν! Το πρόγραμμα μας δίνει αυτόματα μετά από πόσα δεκαδικά ψηφία υπάρχει η ημερομηνία γέννησης στον αριθμό "π"!

Καλό;

Υπάρχει όμως περίπτωση να μην βρεθεί ο αριθμός που θέσαμε; Εννοείται, βάλτε τον αριθμό 05 05 1976, (συνεχόμενα) που είναι και η ακριβής ημερομηνία γέννησής μου, θα γράψει ότι στα πρώτα 200.000.000 εκατομμύρια δεκαδικά ψηφία δεν υπάρχει το νούμερο που ζητήσατε.

Παρασκευή, 28 Δεκεμβρίου 2012

Για να δούμε αν είστε σε φόρμα...


Λύθηκε ο γρίφος του Ραμανουτζάν έπειτα από 100 χρόνια!!!


Ο Ραμανουτζάν γεννήθηκε το 1887 σε ένα αγροτικό χωριό της Νότιας Ινδίας και ήταν σε μεγάλο βαθμό αυτοδίδακτος. Φωτογραφία: Shripathy Hadigal
Ο μεγάλος Ινδός μαθηματικός Σρινιβάσα Ραμανουτζάν έγραψε στο νεκροκρέβατό του κάποιες κρυπτικές συναρτήσεις που ισχυριζόταν ότι του εμφανίστηκαν στο όνειρό του, μαζί με κάποιες υποθέσεις για το πώς συμπεριφέρονται. Σχεδόν 100 χρόνια μετά, ερευνητές υποστηρίζουν πως απέδειξαν τις υποθέσεις του σωστές.

«Καταφέραμε να λύσουμε τα προβλήματα από τα τελευταία μυστηριώδη γράμματά του. Για τους μαθηματικούς που ασχολούνται με το συγκεκριμένο πεδίο, το πρόβλημα ήταν ανοιχτό για πάνω από ενενήντα χρόνια», δήλωσε ο Κεν Όνο, μαθηματικός του Πανεπιστημίου Έμορυ στην Ατλάντα των Ηνωμένων Πολιτειών.

Ο Ραμανουτζάν γεννήθηκε το 1887 σε ένα αγροτικό χωριό της Νότιας Ινδίας και ήταν σε μεγάλο βαθμό αυτοδίδακτος. Ο μύθος τον θέλει να είναι τόσο απορροφημένος στις σκέψεις και τους υπολογισμούς του για τα μαθηματικά που απέτυχε δύο φορές σε κολλέγιο της Ινδίας. Παρά το γεγονός ότι ήταν απομονωμένος από την παγκόσμια μαθηματική κοινότητα, η κλίση του Ραμανουτζάν τον οδήγησε να ασχοληθεί με προχωρημένη τριγωνομετρία στα 12 του χρόνια, και να ανακαλύπτει δικά του θεωρήματα στην ηλικία των 17. Επίσης απέδειξε πασίγνωστα θεωρήματα όπως του Όιλερ χωρίς να γνωρίζει ότι είχαν ήδη διατυπωθεί και αποδειχθεί.


Αργότερα στη ζωή του δέχτηκε πρόσκληση από τον Άγγλο καθηγητή Τζ. Χ. Χάρντυ και πήγε στο Πανεπιστήμιο του Καίμπριτζ όπου πραγματοποίησε περισσότερες από 30 δημοσιεύσεις και έγινε δεκτός στην Βασιλική Κοινότητα Μαθηματικών. Δυστυχώς απεβίωσε σε ηλικία μόλις 32 ετών, λόγω βεβαρημένης υγείας και πιθανώς ηπατικής μόλυνσης που προκλήθηκε από στρες και κακή διατροφή. Άλλωστε η Αγγλία του Μεσοπολέμου δεν προσέφερε πολλές δυνατότητες για χορτοφαγική δίαιτα.

Σε ένα γράμμα προς τον Χάρντυ από το νεκροκρέβατό του στην Ινδία το 1920, περιέγραψε κάποιες μυστηριώδεις συναρτήσεις παρόμοιες με τις συναρτήσεις θήτα. Οι συναρτήσεις θήτα εμφανίζουν επαναλαμβανόμενα μοτίβα όπως οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου, αλλά αρκετά πιο πολύπλοκα. Οι συναρτήσεις αυτές χαρακτηρίζονται ως «υπερσυμμετρικές», δηλαδή αν εφαρμοστεί πάνω τους η μετατροπή Moebius, μετατρέπονται στον εαυτό τους. Αυτές οι συμμετρικές ιδιότητες των συναρτήσεων θήτα τις κάνουν ιδιαίτερα χρήσιμες σε πολλά πεδία των μαθηματικών και της φυσικής, συμπεριλαμβανομένης της θεωρίας χορδών.

Ο Ραμανουτζάν πίστευε ότι οι 17 νέες συναρτήσεις που ανακάλυψε έμοιαζαν με συναρτήσεις θήτα όταν γράφονταν ως απειροστικό άθροισμα, αλλά δεν ήταν υπερσυμμετρικές. Ο ιδιαίτερα θρησκόληπτος Ραμανουτζάν πίστευε ότι οι συναρτήσεις αυτές του παρουσιάστηκαν από τη θεά Ναματζίρι.

Πάνω από ενενήντα χρόνια μετά, ο Όνο και η ομάδα του απέδειξαν τον ισχυρισμό του Ραμανουτζάν, ο οποίος λόγω του πρώιμου θανάτου του δεν πρόλαβε να ολοκληρώσει τον συλλογισμό του. Πράγματι οι συναρτήσεις αυτές «μιμούνται» τις συναρτήσεις θήτα αλλά δεν μοιράζονται τα καθοριστικά χαρακτηριστικά τους όπως η υπερσυμμετρία.

Η κληρονομιά του Ραμουτζάν συνεχίζει να γιγαντώνεται από τότε που απεβίωσε. Αξίζει να σημειωθεί ότι ο συλλογισμός του ήταν τόσο μπροστά από την εποχή του, που η μαθηματική κοινότητα κατάφερε μόλις το 2002 να προσδιορίσει σε ποιο μαθηματικό κλάδο ανήκουν αυτές οι εξισώσεις.

Ε.Μ.Ε ΗΜΑΘΙΑΣ - Στιγμές 2012


To πρόβλημα του "φθηνού περιδέραιου"

Η διαδικασία λύσης προβλημάτων διακρίνεται σε 4 στάδια: την προπαρασκευή, όπου συγκεντρώνονται οι πληροφορίες, την επώαση όπου το πρόβλημα ωριμάζει για κάποιο χρονικό διάστημα, τη διαφώτιση, όπου η λύση εμφανίζεται ως ένα είδος "εσωτερικής λάμψης" και, τέλος, την επιβεβαίωση όπου επαληθεύεται η λύση. 
Από τα τέσσερα αυτά στάδια το πιο καθοριστικό για τη λύση του προβλήματος πιστεύεται ότι είναι η επώαση. Ο ρόλος ή η επίδραση της περιόδου επώασης του προβλήματος για την τελική του λύση ενισχύεται τόσο από παρατηρήσεις όσο και από πειραματικές έρευνες. Μεταξύ των παρατηρήσεων αξίζει να μνημονευθεί αυτή που αναφέρεται στο διάσημο γάλλο μαθηματικό Poincare, o οποίος σημείωνε:
"...Έπειτα στράφηκα στη μελέτη μερικών θεμάτων αριθμητικής χωρίς να έχω όμως καμιά επιτυχία και χωρίς να μπορώ να τα συσχετίσω με προηγούμενες έρευνές μου. Απογοητευμένος από την αποτυχία έφυγα και πήγα για μερικές μέρες σε ένα παραθαλάσσιο μέρος σκεπτόμενος κάτι διαφορετικό. Ένα πρωί καθώς περπατούσα πάνω στα βράχια μου ήρθε ξαφνικά η ιδέα της λύσης του προβλήματος."

Εξάλλου μια πειραματική μελέτη με το "πρόβλημα του φθηνού περιδέραιου" έδειξε την καθοριστική επίδραση της περιόδου επώασης για τη λύση του προβλήματος.

Το πρόβλημα του "φθηνού περιδέραιου"
Το πρόβλημα αυτό είχε ως εξής:
"'Εχετε στη διάθεσή σας 4 τεμάχια αλυσίδας Α,Β,Γ,Δ (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) που το καθένα αποτελείται από 3 κλειστούς κρίκους.
Ζητείται να ενώσετε τα τεμάχια με τέτοιο τρόπο , ώστε, αν το κόστος ανοίγματος ενός κρίκου στοιχίζει 1 ευρώ και το κλείσιμο του κρίκου στοιχίζει 2 ευρώ , να φτιάξετε ένα περιδέραιο (όπως φαίνεται στο σχήμα) που το κόστος κατασκευής του (άνοιγμα και κλείσιμο κρίκων) δεν πρέπει να υπερβεί τα 9 ευρώ.

Το πρόβλημα δόθηκε σε 3 ομάδες ατόμων. Η πρώτη ομάδα που εργάστηκε συνεχώς επί μισή ώρα, είχε επιτυχία 55% (δηλαδή 55% των ατόμων έλυσαν το πρόβλημα). Η 2η ομάδα δίεκοψε το χρόνο εργασίας, κάνοντας μισή ώρα διάλειμμα και είχε επιτυχία 64%. Η 3η ομάδα είχε τέσσερις ώρες ενδιάμεσο διάλειμμα και είχε επιτυχία 85%.
Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι τα άτομα, αφήνοντας κατά μέρος το πρόβλημα για ένα χρονικό διάστημα και απασχολούμενα με κάτι άλλο, επανέρχονται με νέες ιδέες για την αντιμετώπιση και λύση του προβλήματος.

Λύση του προβλήματος
 
Για τη λύση του προβλήματος ανοίγονται πρώτα οι τρεις κρίκοι του ενός από τα τέσσερα κομμάτια της αλυσίδας (κόστος 3 ευρώ) και στην συνέχεια οι τρεις ανοιγμένοι κρίκοι χρησιμοποιούνται για να συνδεθούν μεταξύ τους τα υπόλοιπα τρία κομμάτια της αλυσίδας (κόστος 6ευρώ).

Όταν τα μαθηματικά δεν υπηρετούσαν την ύλη, αλλά μόνο το πνεύμα !!!!

Μετά το Θαλή το Μιλήσιο (6ος π.Χ. αι.) που ήταν ο πρώτος άνθρωπος που αναζήτησε μια λογική θεμελίωση των γεωμετρικών θεωρημάτων απελευθερώνοντας τα σχήματα από τα αντικείμενα που τα προσδιορίζουν και προσπάθησε να εξηγήσει ορθολογικά τα φαινόμενα του κόσμου, τη σκυτάλη στην ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών  παίρνουν οι Πυθαγόρειοι.

Οι Πυθαγόρειοι (5ος π.Χ. αι.) χρησιμοποιούσαν ένα δικό τους ιδιόμορφο συμβολιστικό σύστημα αποτελούμενο από σημεία (τελείες).
Το κλειδί της συμβολικής αυτής ήταν ότι έπρεπε σε κάθε σχήμα η κάθε πλευρά να έχει τον ίδιο αριθμό κουκίδων. Η παραστατική αυτή συμβολική των αριθμών τους χώρισε σε πολλές κατηγορίες όπως: άρτιους, περιττούς, τρίγωνους, τετράγωνους, τέλειους, φίλιους κ.α. Οι αριθμοί 3,6,10,... του παραπάνω σχήματος είναι οι τρίγωνοι αριθμοί. Οι αριθμοί 4,9,16,...είναι οι τετράγωνοι αριθμοί (πώς συμβολίζονται με τετράγωνα;) 
Για να κατανοήσουμε τη σημασία αυτής της ανακάλυψης αρκεί να αναλογιστούμε ότι ακόμη και στη σύγχρονη εποχή των υπερυπολογιστών δεν έχει βρεθεί αν για παράδειγμα το πλήθος των φίλιων αριθμών είναι άπειρο ή πεπερασμένο. 
(Φίλιοι είναι τα ζευγάρια των αριθμών που ο καθένας είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του άλλου. Π.χ. οι αριθμοί 284, 220  αφού
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110(όλοι οι διαιρέτες του 220)
220=1+2+4+71+142(όλοι οι διαιρέτες του 284)
* Ο Pierre Fermat το 1636 βρήκε το ζεύγος 17.296, 18.416
* Ο Renè Descartes βρήκε ένα τρίτο ζεύγος, 9.363.584, 9.437.056
* Ο Nicolò Paganini, το 1866 βρήκε το 1.184, 1.210
)

Το σχέδιο των Πυθαγορείων ήταν να δώσουν σε ολόκληρη τη φύση ένα μαθηματικό υπόβαθρο,  πιστεύοντας ότι ανακάλυψαν στους αριθμούς την "ουσία του όντος" (μη ξεχνάμε ότι η Πυθαγόρειοι εκτός από επιστημονική και φιλοσοφική σχολή είχαν και θρησκευτικοπολιτική ταυτότητα. Τα κείμενα που σώζονται για αυτούς είναι συνήθως ελλιπή, λόγω της μυστικότητας που λειτουργούσαν, γιαυτό και δύσκολα διακρίνει κανείς τι ανήκει στο μύθο και τι στην ιστορία. Περίπου την ίδια εποχή την "ουσία του όντος" αναζητούσαν και οι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι.). 


Έπρεπε λοιπόν να μελετήσουν την ίδια τη φύση των αριθμών εκτός Λογιστικής ανυψώνοντας την Αριθμητική πάνω και πέρα από τις υπολογιστικές ανάγκες των εμπόρων. Έτσι αυτό το μαθηματικό οικοδόμημα των Πυθαγορείων κατάφερε και επηρέασε τη φιλοσοφική και θρησκευτική σκέψη των αρχαίων ελλήνων. Για παράδειγμα: η απουσία του 0  και η ανυπαρξία αυτής της έννοιας εξοστράκιζε κάθε θεωρία για Δημιουργία εκ του μηδενός. Η μη θεώρηση του 1 ως αριθμού και αφού δε μπορούσαν να τον κατατάξουν ούτε στους άρτιους, ούτε στους περιττούς, τον ταύτισαν με το σύμβολο της θεότητας. 

Μονάς.
Ήταν το ένα και αντιπροσωπεύει πολλές μεταφυσικές κυριότητες και έννοιες. Ήταν γνωστή ως Είδος, Πηγή, ευδαιμονία, δημιουργός, ευτυχία, αρμονία, τάξη, φιλία. Εξισώθηκε με τον Απόλλωνα και τον Υπερίωνα. Είναι το σημείο, η πηγή των αριθμών Μονάς από το Έν.

Δυάς.

Το πρώτο στάδιο προς την διαδρομή της δημιουργίας. Αντιπροσώπευσε την πόλωση, την αντίθεση, την απόκλιση, την ανισότητα και την αστάθεια. Καλείται συχνά τόλμη κα διασκορπίζει την τελειότητα και την ενότητα της μονάδας. Ο πρώτος θήλυ αριθμός, η δυαδικότητα. 

Ωστόσο η μεγάλη ανακάλυψη των Πυθαγορείων έγκειται στην εύρεση των ασύμμετρων (άρρητων) αριθμών, κάτι που τους δημιούργησε ταυτόχρονα και προβλήματα. Πιθανώς το κίνητρο για αυτή την ανακάλυψη να ήταν το ενδιαφέρον τους για το γεωμετρικό μέσο (α:β = β:γ) που ήταν και σύμβολο της αριστοκρατίας. Προσπαθώντας όμως να βρουν το γεωμετρικό μέσο των ιερών αριθμών 1 και 2 κατέληξαν να μελετούν το λόγο της πλευράς ενός τετραγώνου προς τη διαγώνιο του. Είδαν τότε ότι ο λόγος αυτός δε μπορεί να εκφραστεί με αριθμούς  που σήμερα τους αποκαλούμε ρητούς (ακέραιοι, κλάσματα). Πώς όμως είναι δυνατόν, ενώ η πλευρά ενός τετραγώνου να έχει μήκος 1 μονάδα η διαγώνιος να έχει μήκος το απροσδιόριστο-άπειρο μέγεθος της τετραγωνικής ρίζας του 2 (1,4142135...). Και ενώ όλοι παρατηρούμε ότι είναι ένα πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα;
Η ανακάλυψη αυτής της αόρατης ασυμμετρίας, της ύπαρξης του απροσδιόριστου (άπειρον στα αρχαία ελληνικά) μήκους σε πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα, τους γκρέμισε την αντίληψη που είχαν για τον κόσμο και τους αριθμούς. Το άπειρο συνυπάρχει μέσα στο πεπερασμένο και το χάος/παράλογο μέσα στον κόσμο/λογική. Τα μεγέθη αυτά που δεν υπήρχε (ρητός) αριθμός που να τα μετρά οι Πυθαγόρειοι τα ονόμασαν άλογα δηλαδή ανέκφραστα. Σήμερα τα λέμε άρρητα.

Παρότι στην αρχή προσπάθησαν να κρατήσουν μυστική την ανακάλυψη τους ο ΄Ιπασσος ο Μεταποντίνος έσπασε τον όρκο της σιωπής και διέδωσε το τρομερό μυστικό (σύμφωνα με την παράδοση μετά από λίγο καιρό τον βρήκανε πνιγμένο). Έτσι τον 5ο π.Χ. αιώνα οι Έλληνες γνώριζαν ότι δεν είναι το παν αριθητόν και υποταγμένο στο λόγο. Το ά-λογο είναι παρόν μέσα στη φύση αν και αόρατο.

Η κρίση αυτή των μαθηματικών (πολλοί σοφιστές έσπευσαν να χαρακτηρίσουν τα μαθηματικά ψευδοεπιστήμη) ήταν κρίση και όλης της θεώρησης που είχαν για τον  κόσμο όπως: για την ομαλή κυκλική κίνηση των πλανητών ή για την ιερή γεωμετρία τους που με την ακινησία των σχημάτων και την απαγόρευση των νεύσεων στους κανόνες της δεν επέτρεπαν την ενασχόληση της με την άλγεβρα και τη μηχανική (φυσική), ως κάτι το αντιπνευματικό και υλιστικό.

Αυτός που "έσωσε" τα μαθηματικά από αυτήν την κρίση θεωρείται ο Εύδοξος που ήταν ο πρώτος που παρέκαμψε το πρόβλημα της ασυμμετρίας εισάγοντας τη θεωρία των αναλογιών και τη θεώρηση των αριθμών ως ευθύγραμμα τμήματα.

Αργότερα ο Ευκλείδης συνοψίζει όλη τη μαθηματική σκέψη της εποχής γράφοντας τα "Στοιχεια", δηλαδή την αποδεικτική γεωμετρία, πάλι όμως χωρίς κινήσεις, όπου τα σχήματα (άυλες επεκτάσεις των ιδεών) κατασκευάζονται μόνο με κανόνα και διαβήτη (ευθείες και κύκλοι, όπως στις ουράνιες κινήσεις) και δεν κινούνται. Η αριστοτέλεια τυπική λογική στα μαθηματικά και η χρήση αποδείξεων και όχι κινήσεων (δυνάμεις) όπως στη μηχανική έκανε τη θεωρία αυτή να μη φοβάται αντιφάσεις και παράδοξα (θυμηθείτε Παρμενίδη , Ζήνωνα). Ταυτόχρονα όμως απόρριπτε αυτό που σήμερα ονομάζουμε άλγεβρα, επειδή σε αυτήν τίποτα δεν αποδεικνείεται με βάση την αριστοτελική λογική. Η μη ενασχόληση των θεωρητικών με τις πρακτικές εφαρμογές των μαθηματικών και της φυσικής καθυστέρησε πολύ και τη βιομηχανική επανάσταση.

Εκτός από λίγες περιπτώσεις όπως ο Ιππίας με την τετραγωνίζουσα, ή ο Μέναιχμος  και ο Απολλώνιος με τις θεωρίες τους περί κωνικών τομών, πραγματική ενασχόληση των μαθηματικών με τις πρακτικές εφαρμογές  έχουμε αργότερα κατά τα ελληνιστικά χρόνια με τον Αρχιμήδη να αναπτύσσει τη μηχανική και τη φυσική, το Διόφαντο την άλγεβρα, τον Πτολεμαίο την εξηνταδική αστρονομία, τον Ίππαρχο να θεμελιώνει την τριγωνομετρία κ.ά.

Συμπέρασμα από αυτήν την ιστορία δύσκολα μπορούμε να βγάλουμε. Το σίγουρο είναι ότι ο τρόπος επίλυσης ενός προβλήματος προσδιορίζει καθοριστικά το πλαίσιο των αντιλήψεών μας, πολλές φορές χωρίς να το καταλαβαίνουμε. Η προσπάθεια των Πλατωνικών να σώσουν τους αριθμούς και την ηθική των Θεών, οδήγησαν την ανθρώπινη σκέψη στη Γεωμετρία και την απαξίωση της ύλης. Ποια θα ήταν η πορεία του αρχαίου ελληνικού πνεύματος αν είχε επικρατήσει ο Υλισμός του Δημόκριτου και όχι ο Ιδεαλισμός του Πλάτωνα είναι ένα ερώτημα που δεν μπορεί να απαντηθεί. Το μόνο που με βεβαιότητα μπορούμε να πούμε είναι ότι ο τρόπος αντιμετώπισης των φιλοσοφικών-θεολογικών ερωτημάτων επηρεάζει τον τρόπο αντίληψης των μαθηματικών προβλημάτων και αντιστρόφως.

Πέμπτη, 27 Δεκεμβρίου 2012

Τα μαθηματικά είναι μια «πονεμένη» ιστορία!!!




Πολύς κόσμος θεωρεί τα μαθηματικά «πονεμένη» ιστορία και έχει και αποδεδειγμένα πλέον δίκιο. Σύμφωνα με νέα έρευνα του University of Chicago, εάν αντιμετωπίζετε τα μαθηματικά με φοβία, είναι αρκετά πιθανό απλά και μόνο η προετοιμασία για την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος να ενεργοποιήσει την περιοχή του εγκεφάλου που ευθύνεται για την αίσθηση του σωματικού πόνου.

Στην έρευνα συμμετείχαν 14 άνθρωποι με άγχος για τα μαθηματικά, οι οποίοι κλήθηκαν να λύσουν μια άσκηση την ώρα που μαγνητικός τομογράφος κατέγραφε τη δραστηριότητα του εγκεφάλου τους. Τα αποτελέσματα έδειξαν δραστηριοποιήση σε μια περιοχή του εγκεφάλου με την ονομασία «posterior insula», η οποία συνδέεται με το αίσθημα της απειλής και του πόνου. Το παράδοξο μάλιστα ήταν ότι την αίσθηση του πόνου δεν προκαλούσε η ίδια η επίλυση του προβλήματος αλλά η προετοιμασία.

Σύμφωνα με τους ερευνητές:
«Για κάποιον που αντιμετωπίζει τα μαθηματικά με φόβο, η αναμονή και προετοιμασία για την επίλυση μιας άσκησης προκαλεί την ίδια αντίδραση του εγκεφάλου με τον πόνο που θα ένιωθε αν ακουμπούσε το χέρι του σε ένα καυτό μάτι κουζίνας«.

Δευτέρα, 24 Δεκεμβρίου 2012

Ένα χριστουγεννιάτικο πρόβλημα.…!!!



Ένα εορταστικό προβληματάκι ...
   "Ο Φρέντι  είναι ένα από τα πολλά ξωτικά στην υπηρεσία του Αη Βασίλη ,έχει σαν υποχρέωση του να παραλαμβάνει τα γράμματα των παιδιών, να καταγράφει τα δώρα που ζητούν και να φροντίζει για την κατασκευή τους .Τώρα λοιπόν , που τα Χριστούγεννα πλησιάζουν έπεσε πολύ δουλειά για τον Φρέντι.Κάθε εβδομάδα καταχωρεί και διεκπεραιώνει περισσότερα γράμματα από την προηγούμενη .Τις τρεις εβδομάδες πριν τα Χριστούγεννα  καταχώρησε 56 γράμματα και μάλιστα  η διαφορά ανάμεσα στον αριθμό των γραμμάτων της πρώτης εβδομάδας και της δεύτερης  πολλαπλασιασμένη επί την διαφορά του αριθμού των γραμμάτων της τρίτης και της δεύτερης εβδομάδας ισούται με τον αριθμό των γραμμάτων που καταχώρησε την πρώτη εβδομάδα.
Μπορείς να βρεις πόσα γράμματα  καταχώρησε ο Φρέντι την τρίτη εβδομάδα;"

Αυξάνονται οι ιδιοφυΐες!!!



Οι ιδιοφυείς άνθρωποι αυξάνονται, με τις γυναίκες να ενισχύουν τα ποσοστά τους.




Η ανθρώπινη ευφυΐα υπήρξε ανέκαθεν ακανθώδες θέμα για τις επιστήμες, ιδιαίτερα σε ό,τι αφορά τις διακυμάνσεις της μεταξύ των φύλων. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η αντίδραση στις δηλώσεις του πρώην προέδρου του Χάρβαρντ, Λάρι Σάμερς το 2005, σχετικά με τη μειωμένη ικανότητα των γυναικών στα μαθηματικά και τις θετικές επιστήμες.Στην αντιπαράθεση αυτή ρίχτηκαν πρόσφατα ερευνητές του Πανεπιστημίου Ντιούκ, που κατέληξαν σε δύο σημαντικά συμπεράσματα.
Πρώτον, ότι το «φαινόμενο Φλιν» ισχύει και ενισχύεται διαρκώς. Με τον όρο αυτό, οι επιστήμονες εννοούν τη σταδιακή και διαρκή άνοδο των επιπέδων IQ σε άνδρες και γυναίκες, που εκδηλώνεται κατά κύριο λόγο στους πλέον ευφυείς και δεύτερον, ότι η ιστορική διαφορά ευφυΐας μεταξύ ανδρών και γυναικών έχει πλέον εξαφανισθεί.
Αν και η μελέτη δεν υποστηρίζει ότι εισάγει θέσφατα, το εύρος του δείγματός της είναι τέτοιο που ακόμα και οι πλέον σκεπτικιστές υποχρεώνονται να καμφθούν στα πορίσματά της.
Αν και οι επιστήμονες δεν έχουν καταλήξει στα αίτια εμφάνισης του «φαινομένου Φλιν», οι γνώμες συγκλίνουν στις ωφέλιμες επιπτώσεις της βελτιωμένης διατροφής, καθώς και της πληθώρας ερεθισμάτων που απολαμβάνει ο σύγχρονος άνθρωπος.

Καλές γιορτές σε όλους!!!!!


Πέμπτη, 20 Δεκεμβρίου 2012

Ο γύρος του κόσμου σε 60 δεύτερα!!!


Ένα λεπτό χρειάστηκε ο καθηγητής Τζέιμς Ντρέικ για να πραγματοποιήσει τον… γύρο του κόσμου, χάρη στην τεχνολογία. Δείτε το αποτέλεσμα σε ένα εκπληκτικό βίντεο.


Ογδόντα μέρες χρειάστηκε ο Φιλέας Φογκ  πρωταγωνιστής του μυθιστορήματος του Ιουλίου Βέρν να κάνει το γύρω του κόσμου… χάρη όμως στην τεχνολογία αυτό είναι σήμερα εφικτό σε 60 μόλις δευτερόλεπτα.
Θραύση κάνει στο διαδίκτυο ένα βίντεο με φωτογραφίες από το Διεθνή Διαστημικό Σταθμό που επεξεργάστηκε ο καθηγητής Τζέιμς Ντρέικ.


Ο καθηγητής χρησιμοποίησε 600 περίπου φωτογραφίες από την ιστοσελίδα The Gateway to Astronaut Photography of Earth και δημιούργησε αυτό το υπέροχο αποτέλεσμα.

Οι εκατό Πετεινοί (The Hundred Fowls)!!! Eνα πρόβλημα από τον Κινέζο μαθηματικό του 6ου αιώνα Sun Tsu Suan Ching!!!




  Ένα δημοφιλές πρόβλημα ψυχαγωγικών μαθηματικών  του 6ου  αιώνα βρίσκουμε στο βιβλίο του Κινέζου μαθηματικού  Sun Tsu Suan Ching  "Κλασσική Αριθμητική του Suan Ching ".
Η διατύπωση του έχει ως εξής :



" Εάν ένας πετεινός  αξίζει 5 νομίσματα , μια κότα 3 νομίσματα , και τρία κοτόπουλα μαζί 1 νόμισμα, πόσους πετεινούς, κότες και κοτόπουλα, συνολικού πλήθους 100, μπορεί κάποιος  να αγοράσει με  100 νομίσματα; "( τα πλήθη των πουλερικών είναι θετικοί ακέραιοι )

  Το σύνθετο αυτό πρόβλημα με χρήση  αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί:


 
όπου x, y, z ο αριθμός από πετεινούς,κότες και κοτόπουλα, αντίστοιχα.
  Παρατηρούμε ότι υπάρχουν δύο εξισώσεις με τρεις άγνωστες ποσότητες. Έτσι, εξαλείφοντας έναν από τα αγνώστους, βάζοντας  z=100-x-y  από την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη  έχουμε:

 

Η οποία είναι μια γραμμική διοφαντική  εξίσωση με δύο άγνωστους .
Έχουμε δυο επιλογές:
Άν την λύσουμε με στοιχειώδη σχολική άλγεβρα πρέπει να λάβουμε υπόψιν ότι καθένας  από τα x,y,z είναι θετικός ακέραιος  .
Από την εξίσωση  7x+4y=100  διαπιστώνουμε ότι  ο x θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4. Αρα έχει την μορφή x=4k  όπου k θετικός ακέραιος , με αντικατάσταση στην εξίσωση:

28k+4y=100   ή   7k+y=25  με τρεις  ακέραιες  λύσεις για το k=1 ή 2 ή 3.
και τελικά η λύση του προβλήματος είναι:
                                     
                                                          x                y                z
 
                                                          4              18               78
                                                          8              11               81
                                                        12                7               84  
 
Έτσι, υπάρχουν τρεις τρόποι για την επιλογή του αριθμού των πετεινών , τις κότες και τα κοτόπουλα, συνολικού πλήθους  100  με το αντίτιμο  100 νομίσματα.
















  

Τετάρτη, 19 Δεκεμβρίου 2012

O Ερατοσθένης και η ακτίνα της Γης !!!!

 
 
γράφει ο Χάρης Βάρβογλης, καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ
Οι αρχαίοι Ελληνες, αντίθετα με όσα πιστεύει ο μέσος πολίτης σήμερα, γνώριζαν από την εποχή του Αριστοτέλη ότι η Γη είναι σφαιρική και όχι επίπεδη. Ο Ερατοσθένης μάλιστα, με ένα πείραμα που έχει μείνει στην Ιστορία, μπόρεσε να μετρήσει την ακτίνα της Γης με ακρίβεια απρόσμενη για τα μέσα της εποχής εκείνης. 

Οι μεταγενέστεροι αστρονόμοι και γεωγράφοι όμως...
συντάχθηκαν με την άποψη του Πτολεμαίου ότι η Γη είναι 30% μικρότερη από όσο είχε μετρήσει ο Ερατοσθένης. Το λάθος αυτό παρέμεινε για 15 αιώνες και ήταν η αιτία να αποφασίσει ο Κολόμβος το ταξίδι για την Ινδία, το οποίο κατέληξε στην ανακάλυψη της Αμερικής.

Στον τροπικό του Καρκίνου

Το πείραμα του Ερατοσθένη βασίστηκε στη μέτρηση του ύψους του Ηλίου την ίδια ημερομηνία σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες, καθώς και στην πεποίθηση του μεγάλου έλληνα μαθηματικού ότι ο Ηλιος είναι πολύ μακριά από τη Γη, τόσο ώστε οι ακτίνες του να φθάνουν στον πλανήτη μας σχεδόν παράλληλα. Από διηγήσεις ταξιδιωτών ο Ερατοσθένης έμαθε ότι στις 21 Ιουνίου, την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, ο Ηλιος καθρεφτίζεται στην επιφάνεια του νερού των πηγαδιών της πόλης Συήνης, αυτής που σήμερα οι Αιγύπτιοι ονομάζουν Ασουάν. Από την πληροφορία αυτή ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι η Συήνη βρίσκεται πάνω στον τροπικό του Καρκίνου, δηλαδή στον παράλληλο κύκλο με γεωγραφικό πλάτος 23,5 μοίρες. Το χαρακτηριστικό των τόπων που βρίσκονται στον τροπικό του Καρκίνου είναι ότι το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου ο Ηλιος βρίσκεται στο ζενίθ, δηλαδή ακριβώς κατακόρυφα προς τα πάνω. Ετσι οι ακτίνες του διαδίδονται κατά μήκος των κατακόρυφων τοιχωμάτων των πηγαδιών, ανακλώνται στην επιφάνεια του νερού και επιστρέφουν προς την επιφάνεια, κάνοντας ορατό το είδωλό του σε έναν παρατηρητή που κοιτάζει από το στόμιο του πηγαδιού.

Το μεσημέρι της ημέρας του θερινού ηλιοστασίου ο Ερατοσθένης μέτρησε το ύψος του Ηλίου στην πόλη στην οποία κατοικούσε, την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Η μέτρηση έγινε με τη βοήθεια ενός οβελίσκου, ο οποίος είναι το αρχαιότερο αστρονομικό όργανο στην ιστορία της επιστήμης. Το μήκος της σκιάς που ρίχνει ο οβελίσκος, διαιρεμένο με το ύψος του οβελίσκου, μας δίνει, όπως μάθαμε στο σχολείο, την εφαπτομένη της γωνίας του ύψους του Ηλίου. Η γωνία αυτή, η οποία από τη μέτρηση του Ερατοσθένη προέκυψε 7,2 μοίρες, είναι ίση (ως «εντός-εκτός και επί τα αυτά», όπως θυμούνται οι παλαιότεροι) με την επίκεντρη γωνία που σχηματίζουν δύο ακτίνες της Γης με άκρα τη Συήνη και την Αλεξάνδρεια, υπό την προϋπόθεση ότι οι δύο πόλεις έχουν το ίδιο γεωγραφικό μήκος, βρίσκονται δηλαδή στον ίδιο μεσημβρινό. Επειδή από τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η απόσταση των δύο πόλεων, η ακτίνα της Γης και η γωνία που μέτρησε ο Ερατοσθένης συνδέονται με τη σχέση απόσταση/ακτίνα = 6,28x(7,2/360), η ακτίνα της Γης βρίσκεται αμέσως αν γνωρίζουμε την απόσταση των δύο πόλεων. Την εποχή του Ερατοσθένη, περί το 250 π.Χ., δεν υπήρχε ακριβής μέθοδος μέτρησης τόσο μεγάλων αποστάσεων. Σύμφωνα με την παράδοση, ο Ερατοσθένης ανέθεσε σε επαγγελματίες βαδιστές να την υπολογίσουν, και το αποτέλεσμά τους το συνέκρινε με τις εκτιμήσεις αρχηγών καραβανιών. Το τελικό του αποτέλεσμα ήταν ότι η απόσταση Αλεξάνδρειας- Συήνης ισούται με 5.000 στάδια, οπότε η ακτίνα της Γης προκύπτει ίση με 252.000 στάδια.

Για να μπορέσουμε να εκτιμήσουμε την ακρίβεια της μέτρησης του Ερατοσθένη, θα έπρεπε να γνωρίζουμε πόσο είναι το μήκος ενός σταδίου σε μέτρα, καθώς και κατά πόσο αληθεύουν οι δύο υποθέσεις του Ερατοσθένη, δηλαδή ότι η Συήνη έχει γεωγραφικό πλάτος 23,5 μοίρες και ότι Συήνη και Αλεξάνδρεια βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό. Μια ματιά σε έναν σύγχρονο χάρτη δείχνει ότι και οι δύο υποθέσεις ήταν λανθασμένες, αλλά το λάθος δεν ήταν μεγάλο: το γεωγραφικό πλάτος της Συήνης είναι 24,1 μοίρες, ενώ τα γεωγραφικά μήκη των δύο πόλεων διαφέρουν μόνο κατά μία μοίρα. Επομένως η βασική πηγή σφάλματος είναι το μήκος ενός σταδίου σε μέτρα. Θα έλεγε κανείς ότι έχουν διασωθεί πολλά αρχαία στάδια, οπότε δεν έχουμε παρά να μετρήσουμε πόσο μήκος έχει ένα από αυτά. Δυστυχώς τα στάδια δεν είχαν το ίδιο μήκος σε όλες τις περιοχές της αρχαίας Ελλάδας. Αν υποθέσουμε ότι ο Ερατοσθένης εννοούσε αττικά στάδια των 185 μέτρων, τότε το αποτέλεσμά του δίνει για την ακτίνα της Γης 7.400 χιλιόμετρα, τιμή 16% μεγαλύτερη από την πραγματική. Αν όμως εννοούσε αιγυπτιακά στάδια, πράγμα που είναι και το πιθανότερο, τότε κατά τον Ερατοσθένη η ακτίνα της Γης είναι 6.316 χιλιόμετρα, μόλις 1% μικρότερη από την πραγματική, που σήμερα γνωρίζουμε ότι είναι 6.366 χιλιόμετρα!

Πώς ξεγελάστηκε ο Κολόμβος

Το πείραμα του Ερατοσθένη είχε δημιουργήσει μεγάλη εντύπωση στην εποχή του, και αρκετοί μεταγενέστεροι φυσικοί φιλόσοφοι, όπως ονομάζονταν οι επιστήμονες εκείνη την εποχή, θέλησαν να το επαναλάβουν. Ο πρώτος που γνωρίζουμε, χρονολογικά, ήταν ο Ελληνας Ποσειδώνιος ο Ρόδιος, ο οποίος γύρω στο 100 π.Χ. υπολόγισε την ακτίνα της Γης με διαφορετική μέθοδο από αυτήν του Ερατοσθένη. Υπέθεσε ότι η Αλεξάνδρεια και η Ρόδος είναι στον ίδιο μεσημβρινό και υπολόγισε ότι η επίκεντρη γωνία που σχηματίζουν οι δύο πόλεις είναι 7,5 μοίρες, παρατηρώντας όχι τον Ηλιο αλλά το ύψος του αστέρα Κάνωπου, όπως φαίνεται από τις δύο πόλεις. Υποθέτοντας ότι η απόσταση των δύο πόλεων είναι 5.000 στάδια, κατέληξε σε ένα αποτέλεσμα πρακτικά ίδιο με αυτό του Ερατοσθένη. Μεταγενέστερα όμως αναθεώρησε την εκτίμησή του για την απόσταση Ρόδου- Αλεξάνδρειας σε 3.750 στάδια, οπότε η ακτίνα της Γης προέκυψε ίση με 4.500 χιλιόμετρα, δηλαδή 30% μικρότερη από την πραγματική. Με την τιμή αυτή συμφώνησε στη συνέχεια ο ρωμαίος ναύαρχος και φυσικός φιλόσοφος Πλίνιος, ενώ την καθιέρωσε οριστικά ο έλληνας αστρονόμος Πτολεμαίος αναφέροντάς τη στο βιβλίο του Γεωγραφία.

Τα βιβλία του Πτολεμαίου έχαιραν μεγάλης εκτίμησης μεταξύ των επιστημόνων ως την Αναγέννηση, και αυτό το γεγονός ήταν η αιτία να επικρατήσει τελικά η λανθασμένη τιμή του Ποσειδώνιου για την ακτίνα της Γης. Σε υδρόγειες σφαίρες της εποχής, κατασκευασμένης με βάση αυτήν τη λανθασμένη τιμή, βλέπει κανείς τοποθετημένες την Ευρώπη, την Ασία και την Αφρική να καλύπτουν όλη την επιφάνεια της Γης, χωρίς να υπάρχει διαθέσιμος χώρος για άλλη ήπειρο. Ο Κολόμβος, με βάση παρόμοιους χάρτες, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η Ινδία απείχε από τα Κανάρια Νησιά μόλις 6.300 χιλιόμετρα δυτικά (αντί για τη σωστή 28.000 χιλιόμετρα), οπότε θα μπορούσε να φθάσει σχετικά σύντομα στις Ινδίες ταξιδεύοντας προς δυσμάς. Επομένως θα μπορούσε κανείς να πει ότι το λάθος του Ποσειδώνιου έπαιξε καθοριστικό ρόλο για την ανακάλυψη της Αμερικής από τον Κολόμβο, αφού είναι σχεδόν βέβαιο ότι αν γνώριζε τις πραγματικές διαστάσεις της Γης δεν θα τολμούσε ποτέ να ξεκινήσει για ένα ταξίδι 28.000 χιλιομέτρων με τα πλοία της εποχής.

Τρίτη, 18 Δεκεμβρίου 2012

Η εικασία του Κέπλερ και ένα πρόβλημα για τα κανόνια

                    
                                                   


    Εν  έτη  1591 , ο  Σερ Γουόλτερ Ράλεϊ  Βρετανός εξερευνητής,λαθρέμπορος και ενίοτε πειρατής  έθεσε ένα ερώτημα πρακτικού ενδιαφέροντος στον φίλο του μαθηματικό Τόμας  Χάριοτ .
Τον ρώτησε αν ήταν  δυνατό όταν θα βλέπει με το κιάλι από απόσταση στo κατάστρωμα ενος  εχθρικου πλοίου  μια  πυραμιδική στοίβα από μπάλες για τα κανόνια  να υπολογίζει το πλήθος τους.
 
                                 
   Ουσιαστικά ρωτούσε  αν  έχουμε μια πυραμίδα από σφαίρες  με τετράγωνη βάση  και γνωρίζουμε ότι η πλευρά της βάσης ισούται με K σφαίρες τότε  ποιο είναι το πλήθος  Ν των σφαιρών της πυραμίδας .Ο Χάριοτ  έλυσε το πρόβλημα  η απάντηση ήταν  Ν= (1/6)Κ(Κ+1)(1+2Κ)  μπάλες.

  Ο Χάριοτ αναρωτήθηκε ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από σφαίρες  που μπορεί να σχηματίζει στο έδαφος ένα τετράγωνο νxν και στην συνέχεια να είναι δυνατό να τις στοιβάξουμε  σε μια πυραμίδα με τετράγωνη βάση με ύψος  Κ σφαίρες. Έπρεπε να λύσει μια διοφαντική εξίσωση:

                                              (1/6)Κ(Κ+1)(1+2Κ)=ν2

Η εξίσωση έχει λύση  Κ=24 ,ν=70 με πλήθος 4900 σφαίρες .


 Το 1875 ο Εdourd Lukaς  διατύπωσε την εικασία ότι δεν υπήρχαν άλλες λύσεις ,43 χρόνια αργότερα  το 1918 ο G.N Watson απέδειξε ότι  ειχε δίκιο.

Ο Χαριοτ όμως ενδιαφερόταν για την σφαιροδιάταξη γιατί  θεωρούσε ότι είχε άμεση συνάφεια  με τα μικρότερα  σωματίδια της ύλης,για τα δεδομένα της εποχής,τα άτομα. Αναρωτήθηκε  λοιπόν «ποια διάταξη σφαιρών πιάνει τον μικρότερο χώρο;»

 Το 1606 έστειλε σχετική επιστολή με το αναπάντητο ερώτημα στον φίλο του Γερμανό αστρονόμο Γιοχάνες Κέπλερ .Ο Κέπλερ  διατύπωσε  το 1611 την εικασία ότι ο πιο συμπαγής τρόπος τακτοποίησης σφαιρών είναι ο τρόπος με τον οποίο στοιβάζουν οι μανάβηδες τα πορτοκάλια στους πάγκους τους. 
                  
  Ο ίδιος ο Κέπλερ πειραματίστηκε με πορτοκάλια και παρατήρησε ότι όταν τα στοίβαζε σε κύβο, με το ένα στρώμα πορτοκαλιών ακριβώς πάνω στο άλλο, του έμενε κενό το 48% του συνολικού όγκου. Αν τα έριχνε τυχαία, έμενε κενό περίπου το 35% του χώρου . Αν όμως έστρωνε πρώτα το κάτω στρώμα σε εξαγωνική διάταξη και πάνω του στοίβαζε το επόμενο έτσι ώστε τα πορτοκάλια του να μπαίνουν στα διάκενα του από κάτω στρώματος - σχηματίζοντας μια πυραμίδα -,τότε έμενε ανεκμετάλλευτο μόνο το 26% του συνολικού όγκου. 
                                        
Δεν μπόρεσε όμως να αποδείξει μαθηματικά ότι αυτή ήταν η βέλτιστη διάταξη. Η εικασία του Κέπλερ αποδείχθηκε το 1998 από τον Αμερικανό μαθηματικό Thomas Hales.


Thomas Callister Hales

Ανατολή και Δύση !!!




Δύο καμήλες στέκονται έτσι ώστε η μία να κοιτάζει προς την Ανατολή και η άλλη να κοιτάζει προς τη Δύση. 
Πώς γίνεται να κοιταχτούν κατά πρόσωπο χωρίς να μετακινηθούν, χωρίς να στρίψουν το σώμα ή το λαιμό τους και χωρίς να κάνουν χρήση κάποιας ανακλαστικής επιφάνειας;

Δημιουργικές βιβλιοθήκες!!!


Βιβλιοθήκες που ξεφεύγουν από τα συνηθισμένα και δίνουν άλλη πνοή στην αισθητική του δωματίου. Σχεδιασμένες έμπνευση είναι πραγματικά στολίδια για το διάκοσμο του σπιτιού χωρίς να χάνουν τη χρηστικότητα τους.